Matemaatika Materjalid

Valmistumine riigieksamiks

Algfunktsioon. Määramata integraal

Integraali omadused

Määratud integraal. Kõvertrapetsi pindala

Pindala arvutamine

Pöördkeha ruumala ja töö arvutamine

Kolmnurk

Ring ja ringjoon

Hulknurk

Rööpkülik ja trapets

XI. Integraal. Planimeetria

Algfunktsioon. Määramata integraal

algfunkts ...

Sümbolit $\int$ nimetatakse integraali märgiks.

$\int f (x) d x = F (x) + C$

Antud avaldis on määramata integraal.

Integraali omadused

$\int a f (x) d x = a \int f (x) d x$
$\int f (x) d x + \int g (x) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$
$\int d x = x + C$
$\int x d x = \frac{x^{2}}{2} + C$
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$
$\int \sin x d x = - \cos x + C$
$\int \cos x d x = \sin x + C$

Näide

$\begin{array}{l} \int 4 \sqrt{x} d x = \int 4 x^{\frac{1}{2}} d x = 4 \int x^{\frac{1}{2}} d x = \\ = 4 \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C = \frac{8}{3} x^{1 \frac{1}{2}} + C = \frac{8}{3} x \sqrt{x} + C \end{array}$

Määratud integraal. Kõvertrapetsi pindala

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (a) - F (b), kus F^{'} (x) = f (x)$

Pindala arvutamine

ülemine - alumine ....

Allikas: https://www.pleacher.com/handley/lessons/calc2006/day108.html
NB! Replace with custom one

kui trapets alla x telje ....

$S = - \int_{a}^{b} f (x) d x$

Kõvertrapets asub nii üleval- kui ka allpool x-telge

$S = S_{1} + S_{2} = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{b}^{c} f (x) d x$

Näide

Pöördkeha ruumala ja töö arvutamine

$V = π \int_{a}^{b} [f (x)] d x$

$A = \int_{a}^{b} f (s) d s$

Kolmnurk

Korgused loikuvad uhes punktis.
Nurgapoolitajad loikuvad uhes punktis, mis kujutab endas kolmnurga siseringjoone keskpunkti.
Kulgede keskristsirged loikuvad uhes punktis, mis kujutab endast kolmnurga umberringjoone keskpunkti.
Mediaanid loikuvad uhes punktis, mis kujutab endast kolmnurga massikeset.
Mediaanide loikepunkt jaotab mediaanid suhtes 1 : 2.

$P = a + b + c; p = \frac{a + b + c}{2}$

$S = \frac{a h}{2} = \frac{a b \sin γ}{2}$

$S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

$S = p r, (r - siseringjoone raadius)$

Ring ja ringjoon

$\begin{aligned} d & = 2 r \\ C & = 2 π r \\ S & = π r^{2} \end{aligned}$

Sektori kaar $l = \frac{2 π r}{2 π} x = x r$
Sektori pindala $S = \frac{x r^{2}}{2} = \frac{l r}{2}$

Hulknurk

Rööpkülik ja trapets

$\begin{array}{l} S = a h = a b \sin α \\ P = 2 (a + b) \\ α + β = 180^{\circ} \end{array}$

$S = \frac{a + b}{2} h = k h$