Matemaatika Materjalid

Valmistumine riigieksamiks

Võrdus, võrrand

Võrrandite samaväärsus

Lineaar-, ruut-, murd- ja juurvõrrandid

Absoluutväärtust sisaldavad võrrandid

Võrrandisüsteemid

Kahe- ja kolmerealine determinant

Tekstülesanded

II. Võrrandid ja võrrandisüsteemid

Võrdus, võrrand

Tõene ehk samane arvvõrdus on tõene muutujate kõikide väärtuste korral.

Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, mille üks või mitu muutujat on tundmatud. Leitud muutuja väärtusi nimetatakse lahenditeks ja nende hulka lahendihulgaks.

Võrrandite samaväärsus

Kaks võrrandit on samaväärsed, kui nende lahendid on ühised või puuduvad. Samaväärsuse märkimiseks kasutatakse sümbolit $\Leftrightarrow$ .

Näide

$(x - 1) (2 x + 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} - x - 1 = 0$

Antud võrrandid on samaväärsed, kuna neil on võrdsed lahendid $x_{1} = - 0.5, x_{2} = 1$ .

Lineaar-, ruut-, murd- ja juurvõrrandid

Lineaarvõrrandi normaalkuju on $a x + b = 0$ , kus $a x$ on lineaarliige ja $b$ on vabaliige.

Lahendid puuduvad, kui $a = 0$ ja $b \neq 0$
Lahendeid on lõpmatu hulk, kui $a = 0$ ja $b = 0$
Lahend on üks, kui $a \neq 0$ ja see on kujul $x = - \frac{b}{a}$

Ruutvõrrandi normaalkuju on $a x^{2} + b x + c = 0$ , kus $a$ on ruutliikme kordaja, $b$ lineaarliikme kordaja ning $c$ on vabaliige.

Ruutvõrrandi lahendivalem on

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Avaldist $b^{2} - 4 a c$ nimetatakse diskriminandiks ( $D$ ).

Lahendeid on kaks erinevat, kui $D > 0$
Lahendeid on kaks võrdset, kui $D = 0$
Lahendid puuduvad, kui $D < 0$

Taandatud ruutvõrrandi $x^{2} + p x + q = 0$ lahendamiseks on olemas:

Viete'i valem $x_{1} + x_{2} = - p ja x_{1} \cdot x_{2} = q$ ja lahendivalem

$x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

Murdvõrrandi $\frac{F (x)}{G (x)} = 0$ lahendamiseks kasutame tingimust

${\begin{cases} F (x) = 0 \\ G (x) \neq 0 \end{cases}$

Juurvõrrandi lahendamisel tuleb kindlasti teha kontroll, sest võrrandi poolte paarisarvulise astendajaga astendamisel võivad tekkida võõrlahendid.

Näide

Lahenda võrrand $x + \sqrt{x^{2} - x + 10} = 7$ .

$\sqrt{x^{2} - x + 10} = 7 - x | ()^{2}$

$x^{2} - x + 10 = (7 - x)^{2}$

$x^{2} - x + 10 = 49 - 14 x + x^{2}$

$- x + 14 x = 49 - 10$

$13 x = 39 | : 13$

$x = 3$

Kontroll. $3 + \sqrt{3^{2} - 3 + 10} = 3 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$

Absoluutväärtust sisaldavad võrrandid

Võrrandisüsteemid

Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi

${\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}$

lahendatakse liitmisvõttega, asendusvõttega, graafiliselt või determinantide abil.